复利存款倒推本金
理财顾问推荐一款年化 3.5% 的五年期产品，说到期能拿到 12 万。用户想反推现在需要存多少本金。手动算复利公式容易漏掉复利期数，用本工具的通项公式，设置 a₁ 为未知数，公比 q = 1.035，项数 n = 5，直接解出 a₁ 约为 10.1 万。比用手机计算器反复试错快三倍，且不会因为小数位取舍偏差导致本金算错。
aₙ=a₁+(n−1)d，Sₙ=n(a₁+aₙ)/2。项数上限 100000。
aₙ=a₁·qⁿ⁻¹，Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)。|q|<1 时显示无穷和。
自动判定：等差 / 等比 / 都不是，并给出 a₁、d 或 q、通项与下一项。
斐波那契：F₁=1, F₂=1, Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂，大数自动 BigInt。
支持 + − * / % ** 与 ( )、引用
a(n-1)；函数白名单 abs/sqrt/pow/floor/ceil/round/min/max/log/exp/sin/cos。绝不 eval 用户原文。数列可视化横轴 n · 纵轴 aₙ · nice-ticks 坐标轴
等差呈线性、等比呈指数曲线；可切换散点折线 / 柱状图，求和面积叠加。
前 N 项列表a₁ … aₙ
显示 20 项 · 长数自动缩写
区间求和S(m, n) = aₘ + aₘ₊₁ + … + aₙ
经典数列示例点击载入参数
公式速查通项 · 求和 · 无穷和 · 性质
等差通项aₙ = a₁ + (n−1)·d
等差求和Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n·a₁ + n(n−1)d/2
等比通项aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
等比求和Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）；q=1 时 Sₙ = n·a₁
无穷等比S = a₁/(1−q)（仅当 |q|<1 收敛）
等差中项2aₖ = aₖ₋₁ + aₖ₊₁，任意相邻三项成等差
等比中项aₖ² = aₖ₋₁·aₖ₊₁（同号），几何平均
高斯求和1+2+…+n = n(n+1)/2（公差 d=1 的等差）
就绪 · 等差/等比 通项·求和·任意项 · 等比整数走 BigInt 精确 · |q|<1 求无穷和
第一节
关于本工具
About学生对着数列题列了通项，求和却不知从哪代起——等差等比数列工具把通项、前n项和、任意项三个入口放平，输入首项、公差或公比，直接出结果。支持指定项数范围批量输出，适合作业检查、习题自测或教案准备。计算在浏览器内完成，数据不上传服务器。
使用场景
装修分期还款测算
装修公司报价 20 万，用户打算用信用卡分期 24 期还，每期手续费 0.6%。销售说「每期只还 8333 本金加 120 手续费」，但用户怀疑实际年化利率远高于宣传。用本工具把每期还款额看作等比数列求和，输入首项 8453、公比 1、项数 24，得到总还款 20.29 万。再对比用等额本息公式反推，发现实际年化约 13%，远高于表面 7.2%，决定改用低息消费贷。
运动会赛程阶梯减量
田径教练为 1500 米运动员制定赛前一周训练量：周一跑 5000 米，之后每天递减 10%。周四该跑多少米？用本工具通项公式，a₁=5000，q=0.9，n=4，直接算出周四需跑 3645 米。如果按等差数列每天减固定 500 米，周四只剩 3500 米，强度过低。等比递减更符合超量恢复原理，工具让教练不用手算指数，专注调整减量百分比。
库存盘点误差追责
仓库发现一批电子元件库存对不上：月初入库 1000 个，每天按固定比例出库，记录显示第 7 天剩 478 个。主管怀疑有人多拿，用本工具反推出库比例：a₁=1000，a₇=478，n=7，通项公式解得 q≈0.9，即每天出库 10%。按此比例第 7 天应剩 478 个，与记录吻合，排除人为偷盗，确认是出库流程中损耗率被低估。
音乐节拍器速度校准
吉他手练习一段 16 分音符的速弹，节拍器设 120 BPM，但感觉实际速度忽快忽慢。用本工具验证：120 BPM 下每分钟 120 拍，每拍 0.5 秒。如果节拍器每拍误差 2%（q=1.02），第 10 拍时延误差已累积到 0.5×(1.02¹⁰-1)≈0.11 秒，足够让音符堆叠。工具算出等比累积效应后，吉他手改用电子节拍器而非机械式。
对比矩阵
| 维度 | 本工具 | 竞品 A（Desmos） | 传统方法（手算/计算器） |
|---|---|---|---|
| 输入方式 | 直接输入首项、公差/公比、项数 | 需在函数编辑器中构造数列公式 | 逐项手算或按计算器累加 |
| 任意项查询 | 输入 n 直接输出第 n 项值 | 需拖动滑块或手动输入 n 值 | 需自行推导通项公式再代入 |
| 求和计算 | 一键输出前 n 项和（等差/等比） | 需额外输入求和函数 sum() | 需手动套用求和公式，易出错 |
| 等比数列公比限制 | 公比可为任意实数（含负数、小数） | 公比可为任意实数 | 负数公比易混淆，手算易漏项 |
| 结果精度 | 保留多位小数，无四舍五入截断 | 默认显示有限小数，可手动调整 | 依赖计算器精度，常需四舍五入 |
| 离线可用 | 纯浏览器运行，无需网络 | 需要网络加载 | 完全离线 |
第二节
使用指南
Getting Started使用步骤
- 1在「首项 a₁」和「公差/公比 d」输入框键入数值，支持整数与小数，负数用减号
- 2选择「等差」或「等比」模式，下方公式预览区同步显示通项表达式
- 3在「项数 n」框输入目标位置（如 10），点击「计算」按钮，结果区输出第 n 项值
- 4勾选「求和」开关，结果区追加显示前 n 项和 Sₙ，等比模式自动区分 q=1 与 q≠1
- 5点击「任意项」标签，输入任意序号 m 与 n，工具输出两项的比值或差值，无需重复计算
输入输出示例
| 输入 | 输出 | 说明 |
|---|---|---|
| 首项: 2, 公差: 3, 项数: 5, 求: 通项公式 | an = 2 + (n-1) * 3 = 3n - 1 | 常规：等差数列基础通项，验证公式推导正确性 |
| 首项: 1, 公比: 2, 项数: 10, 求: 前n项和 | S10 = 1 * (2^10 - 1) / (2 - 1) = 1023 | 常规：等比数列求和，验证大数计算精度（2^10=1024） |
| 首项: 0, 公差: 5, 项数: 100, 求: 第100项 | a100 = 0 + (100-1) * 5 = 495 | 边界：首项为0时，通项公式首项项不消失，验证公式处理 |
| 首项: 1, 公比: 1, 项数: 1000, 求: 前n项和 | S1000 = 1000 | 边界：公比为1的等比数列退化为常数列，求和公式需特殊处理（分母为0） |
| 首项: 2, 公差: -3, 项数: 8, 求: 第8项 | a8 = 2 + (8-1) * (-3) = -19 | 易错：负公差导致项值递减，用户易忽略符号运算 |
| 首项: 1, 公比: 0.5, 项数: 20, 求: 第20项 | a20 = 1 * 0.5^(20-1) = 1.9073486328125e-6 | 易错：公比为小数时项值快速趋近0，验证浮点数精度与科学计数法显示 |
| 首项: 10, 公差: 0, 项数: 5, 求: 前n项和 | S5 = 5 * 10 + 5*4/2 * 0 = 50 | 常规：公差为0的等差数列（常数列），验证求和公式仍正确 |
常见错误对照
1.公差 d 或公比 q 输入了非数字字符
✗ 错误
首项: 1, 公差: 2a✓ 修复
首项: 1, 公差: 2工具只接受纯数字（含负数、小数），字母或符号会导致解析失败，返回 NaN 或报错。
2.等比数列中公比 q 设为 0
✗ 错误
首项: 5, 公比: 0, 项数: 10✓ 修复
首项: 5, 公比: 2, 项数: 10公比 q=0 时，从第二项起全为 0，通项公式 aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 仍成立，但实际数列退化，无计算意义，工具可能输出全 0 结果。
3.求和时项数 n 输入了小数
✗ 错误
首项: 1, 公差: 2, 项数: 5.5✓ 修复
首项: 1, 公差: 2, 项数: 5项数 n 必须是正整数。小数项数无数学意义，工具会截断取整或直接拒绝计算。
4.等比数列求和时公比 q=1 但用了求和公式
✗ 错误
首项: 3, 公比: 1, 项数: 10, 期望用 Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)✓ 修复
首项: 3, 公比: 1, 项数: 10, 实际和为 30（即 n·a₁）标准等比求和公式在 q=1 时分母为 0，数学上不成立。此时数列为常数列，和 = 首项 × 项数。
5.等差数列通项公式中项数 n 从 0 开始误算
✗ 错误
首项: 2, 公差: 3, 想求第 5 项，输入 n=5 得到 17✓ 修复
首项: 2, 公差: 3, 第 5 项应输入 n=5，正确结果 2+(5-1)×3=14通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d，n 代表第 n 项，不是索引。若误将 n 当索引，会多算一个公差。
6.负数公差/公比导致符号理解偏差
✗ 错误
首项: 10, 公差: -3, 认为第 3 项是 10+(-3)×2=4✓ 修复
首项: 10, 公差: -3, 第 3 项 = 10 + (3-1)×(-3) = 4，结果正确但用户误以为符号算错负数公差/公比会交替符号或递减，结果可能为负，用户常误判为计算错误，实际公式正确。
7.输入了超大数值导致浮点溢出
✗ 错误
首项: 1e15, 公差: 1e15, 项数: 1000✓ 修复
首项: 1, 公差: 1, 项数: 1000JavaScript 数字精度约 15-16 位有效数字，超大数值累加后尾数丢失，结果不精确。工具基于浏览器运算，受限于 IEEE 754 双精度浮点。
第三节
工作原理
How It Works核心公式
S_n = n/2 × (2a₁ + (n-1)d) 或 S_n = n/2 × (a₁ + a_n)
变量说明
S_n前 n 项和n项数，正整数a₁首项d公差a_n第 n 项
示例
等差数列首项 a₁=3，公差 d=5，求前 10 项和：先算 a₁₀ = 3 + (10-1)×5 = 48，代入 S₁₀ = 10/2 × (3 + 48) = 5 × 51 = 255。
用户输入
本地处理
输出结果
第四节
开发者集成
For Developers5 种主流语言实现，复制即用：
def arithmetic_sequence(a1, d, n):
"""等差数列：通项 an = a1 + (n-1)*d，前 n 项和 Sn = n*(a1+an)/2"""
an = a1 + (n - 1) * d
sn = n * (a1 + an) // 2
return an, sn
def geometric_sequence(a1, q, n):
"""等比数列：通项 an = a1 * q^(n-1)，前 n 项和 Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) (q≠1)"""
an = a1 * (q ** (n - 1))
if q == 1:
sn = a1 * n
else:
sn = a1 * (1 - q ** n) / (1 - q)
return an, sn
# 示例：等差数列 a1=2, d=3, n=5 → an=14, sn=40
print(arithmetic_sequence(2, 3, 5))
# 示例：等比数列 a1=3, q=2, n=4 → an=24, sn=45.0
print(geometric_sequence(3, 2, 4))function arithmeticSequence(a1, d, n) {
const an = a1 + (n - 1) * d;
const sn = n * (a1 + an) / 2;
return { an, sn };
}
function geometricSequence(a1, q, n) {
const an = a1 * Math.pow(q, n - 1);
let sn;
if (q === 1) {
sn = a1 * n;
} else {
sn = a1 * (1 - Math.pow(q, n)) / (1 - q);
}
return { an, sn };
}
console.log(arithmeticSequence(2, 3, 5)); // { an: 14, sn: 40 }
console.log(geometricSequence(3, 2, 4)); // { an: 24, sn: 45 }package main
import "fmt"
func arithmetic(a1, d, n float64) (an, sn float64) {
an = a1 + (n-1)*d
sn = n * (a1 + an) / 2
return
}
func geometric(a1, q, n float64) (an, sn float64) {
an = a1 * pow(q, n-1)
if q == 1 {
sn = a1 * n
} else {
sn = a1 * (1 - pow(q, n)) / (1 - q)
}
return
}
func pow(base, exp float64) float64 {
result := 1.0
for i := 0.0; i < exp; i++ {
result *= base
}
return result
}
func main() {
fmt.Println(arithmetic(2, 3, 5)) // 14 40
fmt.Println(geometric(3, 2, 4)) // 24 45
}public class SequenceCalculator {
public static double[] arithmetic(double a1, double d, int n) {
double an = a1 + (n - 1) * d;
double sn = n * (a1 + an) / 2;
return new double[]{an, sn};
}
public static double[] geometric(double a1, double q, int n) {
double an = a1 * Math.pow(q, n - 1);
double sn;
if (q == 1) {
sn = a1 * n;
} else {
sn = a1 * (1 - Math.pow(q, n)) / (1 - q);
}
return new double[]{an, sn};
}
public static void main(String[] args) {
double[] arith = arithmetic(2, 3, 5);
System.out.println(arith[0] + " " + arith[1]); // 14.0 40.0
double[] geom = geometric(3, 2, 4);
System.out.println(geom[0] + " " + geom[1]); // 24.0 45.0
}
}fn arithmetic(a1: f64, d: f64, n: i32) -> (f64, f64) {
let an = a1 + (n as f64 - 1.0) * d;
let sn = (n as f64) * (a1 + an) / 2.0;
(an, sn)
}
fn geometric(a1: f64, q: f64, n: i32) -> (f64, f64) {
let an = a1 * q.powi(n - 1);
let sn = if q == 1.0 {
a1 * n as f64
} else {
a1 * (1.0 - q.powi(n)) / (1.0 - q)
};
(an, sn)
}
fn main() {
println!("{:?}", arithmetic(2.0, 3.0, 5)); // (14.0, 40.0)
println!("{:?}", geometric(3.0, 2.0, 4)); // (24.0, 45.0)
}第五节
常见问题
Q & A问我知道首项和公差，但不知道项数，能算前 N 项和吗？＋
答
可以。本工具求和模式支持两种输入方式：1）已知首项、公差和项数，直接算前 N 项和；2）已知首项、末项和项数，算总和。如果你只知道首项和公差但项数未知，需要先确定项数（比如题目里给了“从第几项到第几项”），再代入。如果完全没给项数，工具无法自动推断。
问等比数列公比是分数或小数，结果为什么显示成很多位小数？＋
答
本工具默认保留 6 位小数，不自动四舍五入截断，这是为了避免中间计算误差累积。如果你需要特定精度，可以手动复制结果到自己的计算中。如果公比是 1/3 这种循环小数，建议用分数形式输入（比如直接输入 0.333333），工具会按你输入的值计算，不会自动化简为分数。
问我输入了首项 2、公差 3、项数 5，但求和结果和手算不一样？＋
答
先检查输入顺序是否正确：本工具输入框依次是首项、公差/公比、项数。首项 2、公差 3、项数 5 时，数列为 2,5,8,11,14，前 5 项和应为 40。如果结果不是 40，可能是把公差输到了首项位置。另外，求和模式默认计算从第 1 项到第 N 项，如果题目要求从第 m 项到第 n 项，需要先手动算出第 m 项作为新首项。
问数列里既有正数又有负数，结果会不会算错？＋
答
不会。本工具支持负数输入，公差或公比可以是负数，例如等差数列首项 5、公差 -2 会得到 5,3,1,-1... 结果正确。但注意：等比数列公比为负数时，奇数项和偶数项符号交替，求和结果可能比预期小甚至接近 0，这是数学特性，不是计算错误。如果结果异常，可以先检查公比符号是否输反。
问为什么我用这个工具算出来的结果和课本上的公式不一样？＋
答
本工具底层直接实现通项公式 an = a1 + (n-1)d 和求和公式 Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)（等差），以及 an = a1 * q^(n-1) 和 Sn = a1(1-q^n)/(1-q)（等比，q≠1）。如果结果和课本不一致，常见原因：1）课本用了另一种等价形式（如等比求和公式分 q=1 和 q≠1 两种情况）；2）输入顺序错了；3）项数 n 包含首项，有些题目项数要减 1。建议先拿一个简单例子（如首项 1、公差 1、项数 3）验证结果是否为 6。
问这个工具能算无穷等比数列的和吗？＋
答
不能直接算无穷项和。本工具只支持有限项输入（项数最大支持 1000 项）。如果需要计算无穷等比级数的和（公比绝对值小于 1 时），可以手动输入一个足够大的项数（比如 1000）近似结果，但注意当公比接近 1 时，1000 项可能仍有较大误差。严格计算无穷和请使用专门的级数计算工具。
问我输入了很大的数字（比如首项 10 万、项数 500），结果变成科学计数法了？＋
答
当结果超过 9999999 时，本工具会自动切换为科学计数法显示（如 1.23e+8），这是为了保持界面整洁。你仍然可以复制这个科学计数法数值用于后续计算。如果不想看到科学计数法，可以尝试减小项数或输入较小的数字。底层计算精度不受影响，只是显示格式变了。
问能不能直接算出第 100 项的值，而不需要列出前面所有项？＋
答
可以。本工具提供“任意项”模式，输入首项、公差/公比和想查的项数（比如 100），直接输出第 100 项的值，不展示中间项。如果你需要同时查看通项和求和结果，可以先用“通项”模式算第 100 项，再切到“求和”模式算前 100 项和，两个功能互不干扰。
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